Я заказал раскрутку своего сайта в Яндексе, и хочу каким-то образом контролировать, поднимается ли он по нужным мне запросам в поиске. Как это можно делать?

Да просто проверяйте самостоятельно – вводите в Яндексе ключевые запросы, которые Вас интересуют, пару раз в неделю. Со временем увидите, есть ли от раскрутки толк.

С одним ай-пи адресом проводить такие проверки не получится – сайт со временем будет постоянно высвечиваться первым, если постоянно на него заходить. Причём, у других людей в поиске он будет значительно ниже.

Существуют в наше время специальные сервисы, с помощью которых может производиться проверка позиций сайта в Яндексе по определённым ключевым запросам. Например, Вы можете пользоваться этим инструментом https://pr-cy.ru/tools/keywords-rank-checker/ . Первые проверки - совершенно бесплатны, так что, я советую Вам испытать данный сервис в действии.